3つの法則 交換法則 結合法則 分配法則

中1

今回は数学で重要な3つの法則について紹介します
3つの法則とは、交換法則結合法則分配法則です

漢字が並んでいて難しそうな印象ですが、
小学生の頃に習った内容も含まれているので安心してください

 

交換法則

交換法則

交換法則とは、数を並べ替えても計算結果は同じという法則です
具体的にみていきましょう

足し算、引き算の場合

まずは足し算からいきます

こんな感じです
では、さらにもう1歩進んでみましょう

次は引き算の場合です

計算結果が変わってしまいましたね
引き算ではうまくいきませんね
しかし、次の例のように視点を変えてみると…

交換しても計算結果は同じになりましたね
このように負の数の足し算としてみると、
交換法則を使えます

掛け算、割り算の場合

掛け算の例です

このように掛け算でも成り立ちます
では、割り算ではどうなるでしょうか

うまくいきませんね
では、こちらも視点を変えてみましょう

割り算を分数の掛け算だと捉えると、
交換法則は成り立ちますね

参照(割り算と分数についての記事)
文字式のルール その2

 

結合法則

結合法則とは、どこにカッコをつけても計算結果は同じという法則です
具体的にみていきましょう

足し算、引き算の場合

まずは足し算からです

前と後ろのどちらにカッコをつけても変わりませんね
次は引き算の場合を見ていきましょう

うまくいきませんね
交換法則と同様に結合法則も引き算では成り立ちません
しかし、視点を変えると…


2 – 3を2 + (-3)と負の数の足し算としてみると、
結合法則は成り立ちます

(カッコ)の外し方はこちらを参考にしてください
なぜマイナスの後の(カッコ)を外すと符号が変わるのか?

 

掛け算、割り算の場合

掛け算の例です

掛け算でも成り立ちますね
割り算も見ていきましょう

うまくいきませんが、
視点を変えると…

急に複雑になってしまいましたが、
割り算も分数の掛け算と捉えると、結合法則が成り立ちます

 

分配法則

分配法則

分配法則を式で表すとこんな感じです

この法則は中学校で新たに登場します
超重要なのでしっかり身に着けましょう

では、具体的にみていきます

カッコのついた計算方法(復習)

小学校までは次の例のように計算していたと思います

このように()の中を先に計算していましたね
では、次の例をみていきます

分配法則の計算

文字式になると()の中を先に計算できませんね
これでは困りますね。
では、どうしたら良いのでしょうか?

ここで使うのが分配法則です

分配法則の計算方法

()の中を計算できない時はこのように計算します

()の中それぞれに掛け算をしてください。

なぜ分配法則が成り立つのか

なぜ()の中それぞれに掛け算をする分配法則が成り立つのか、
長方形の面積を使って考えてみましょう

この長方形の面積を2通りの方法で求めたいと思います。

解法1

解法2

 

解法1、解法2どちらの方法も同じ長方形の面積を求めているので、
計算結果は変わりません
なので、解法1、解法2の2つの式から、


と導くことができます

これを一般的に表すと、


という式になります

 

まとめ

今回は、交換法則、結合法則、分配法則の3種類の法則について紹介しました
交換法則と結合法則に関しては、難しい名前がついていますが、
やっていることは単純ですね

この3つの法則は使う場面が多いので、
しっかりマスターしましょう!

 

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